فعالیت ریاضی دهم
۱) آیدا برای به دست آوردن حاصل $\text{a}_{\text{n}}$ در مثال بالا، شکل‌های الگو را به صورت روبه‌رو در نظر گرفت. به کمک این روش، مقدار $\text{a}_{\text{۴}}$ و $\text{a}_{\text{n}}$ را به دست آورید.
$$\text{a}_{\text{۱}} = ۱(۳)+۲ \quad \text{a}_{\text{۲}} = ۲(۳)+۲ \quad \text{a}_{\text{۳}} = ۳(۳)+۲ \quad \text{a}_{\text{۴}} = \quad \dots \quad \text{a}_{\text{n}} = $$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۱۵ ریاضی دهم
سلام! این فعالیت در مورد یافتن **فرمول کلی** (یا جمله‌ی $\text{n}$-ام) برای یک الگو یا دنباله است. آیدا در این روش، هر شکل را به یک **قسمت متغیر** (تعداد سه‌تایی‌ها) و یک **قسمت ثابت** (تعداد دوتایی‌ها) تقسیم کرده است.
### ۱. تحلیل الگو و کشف رابطه
همان‌طور که در شکل‌ها می‌بینید:
* **$\\text{a}_{\text{۱}}$ (شکل اول):** شامل $\mathbf{۱}$ دسته سه‌تایی چوب کبریت و $athbf{۲}$ چوب کبریت اضافی است. $\text{a}_{\text{۱}} = \mathbf{۱}(۳)+۲ = ۵$
* **$\\text{a}_{\text{۲}}$ (شکل دوم):** شامل $\mathbf{۲}$ دسته سه‌تایی چوب کبریت و $athbf{۲}$ چوب کبریت اضافی است. $\text{a}_{\text{۲}} = \mathbf{۲}(۳)+۲ = ۸$
* **$\\text{a}_{\text{۳}}$ (شکل سوم):** شامل $\mathbf{۳}$ دسته سه‌تایی چوب کبریت و $athbf{۲}$ چوب کبریت اضافی است. $\text{a}_{\text{۳}} = \mathbf{۳}(۳)+۲ = ۱۱$
### ۲. محاسبه‌ی $\text{a}_{\text{۴}}$
برای شکل چهارم ($\text{a}_{\text{۴}}$)، باید $\mathbf{۴}$ دسته سه‌تایی و $\mathbf{۲}$ چوب کبریت اضافی داشته باشیم:
$$\mathbf{\text{a}_{\text{۴}} = ۴(۳)+۲}$$
$$\text{a}_{\text{۴}} = ۱۲ + ۲ = ۱۴$$
### ۳. به دست آوردن جمله‌ی $\text{n}$-ام ($\text{a}_{\text{n}}$)
با مشاهده‌ی الگو، متوجه می‌شیم که عدد جلوی پرانتز (تعداد دسته‌های سه‌تایی) همیشه برابر با شماره‌ی شکل ($\text{n}$) است. عدد داخل پرانتز (۳) و عدد آخر (۲) ثابت هستند:
$$\mathbf{\text{a}_{\text{n}} = \text{n}(۳)+۲} \quad \text{یا} \quad \mathbf{\text{a}_{\text{n}} = ۳\text{n}+۲}$$
فعالیت ریاضی دهم
۲) آیسا روش دیگری را به کار برد. او تعداد چوب کبریت‌های افقی و عمودی در هر شکل را به طور جداگانه مورد توجه قرار داد تا بتواند به مقدار $\text{a}_{\text{n}}$ دست یابد. مقدار حاصل برای $\text{a}_{\text{n}}$ از این روش را در جای مشخص شده بنویسید.
$$\text{a}_{\text{۱}} = ۱+۲(۲) \quad \text{a}_{\text{۲}} = ۲+۳(۲) \quad \text{a}_{\text{۳}} = ۳+۴(۲) \quad \text{a}_{\text{۴}} = ۴+۵(۲) \quad \dots \quad \text{a}_{\text{۱۰}} = \dots \quad \text{a}_{\text{n}} = $$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۱۵ ریاضی دهم
آیسا در این روش، چوب کبریت‌ها را بر اساس جهت (افقی و عمودی) تفکیک کرده تا یک الگوی دیگر برای جمله‌ی $\text{n}$-ام پیدا کند. این روش هم به همان پاسخ نهایی می‌رسد، اما با یک دیدگاه متفاوت.
### ۱. تحلیل الگو و کشف رابطه (روش آیسا)
در روش آیسا:
* **تعداد چوب‌های افقی** همیشه برابر با **شماره‌ی شکل (n)** است.
* **تعداد چوب‌های عمودی** همیشه برابر با **(n+1) دسته دوتایی** است.
* **$\\text{a}_{\text{۱}}$ (شکل اول):** $athbf{۱}$ افقی + $athbf{۲}(۲)$ عمودی. $\text{a}_{\text{۱}} = ۱+۴ = ۵$
* **$\\text{a}_{\text{۲}}$ (شکل دوم):** $athbf{۲}$ افقی + $athbf{۳}(۲)$ عمودی. $\text{a}_{\text{۲}} = ۲+۶ = ۸$
* **$\\text{a}_{\text{۳}}$ (شکل سوم):** $athbf{۳}$ افقی + $athbf{۴}(۲)$ عمودی. $\text{a}_{\text{۳}} = ۳+۸ = ۱۱$
* **$\\text{a}_{\text{۴}}$ (شکل چهارم):** $athbf{۴}$ افقی + $athbf{۵}(۲)$ عمودی. $\text{a}_{\text{۴}} = ۴+۱۰ = ۱۴$
### ۲. محاسبه‌ی $\text{a}_{\text{۱۰}}$
برای شکل دهم ($\text{n}=۱۰$):
$$\mathbf{\text{a}_{\text{۱۰}} = ۱۰ + (۱۰+۱)(۲)}$$
$$\text{a}_{\text{۱۰}} = ۱۰ + ۱۱(۲) = ۱۰ + ۲۲ = ۳۲$$
### ۳. به دست آوردن جمله‌ی $\text{n}$-ام ($\text{a}_{\text{n}}$)
با توجه به الگو:
* **تعداد افقی:** $\text{n}$
* **تعداد عمودی:** $(\text{n}+۱)(۲)$
$$\mathbf{\text{a}_{\text{n}} = \text{n} + (\text{n}+۱)(۲)}$$
### ۴. ساده‌سازی جمله‌ی $\text{n}$-ام
$$\text{a}_{\text{n}} = \text{n} + ۲\text{n} + ۲$$
$$\mathbf{\text{a}_{\text{n}} = ۳\text{n} + ۲}$$
فعالیت ریاضی دهم
۳) آیا شما راه دیگری را برای به دست آوردن حاصل $\text{a}_{\text{n}}$ می‌دانید؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۱۵ ریاضی دهم
بله، راه‌های زیادی برای به دست آوردن جمله‌ی $\text{n}$-ام یک الگو وجود داره! یکی از رایج‌ترین و قوی‌ترین روش‌ها در ریاضیات، استفاده از مفهوم **دنباله‌ی حسابی** (Arithmetic Sequence) است، چون افزایش چوب کبریت‌ها در هر مرحله به صورت ثابت انجام می‌شود.
### روش سوم: استفاده از دنباله‌ی حسابی (Common Difference)
اگر اختلاف هر جمله با جمله‌ی قبلی **ثابت** باشد، الگو یک دنباله‌ی حسابی است. فرمول کلی دنباله‌ی حسابی به شکل زیر است:
$$\text{a}_{\text{n}} = \text{a}_{\text{۱}} + (\text{n}-۱)\text{d}$$
* $\text{a}_{\text{n}}$: جمله‌ی $\text{n}$-ام
* $\text{a}_{\text{۱}}$: جمله‌ی اول
* $\text{d}$: اختلاف مشترک (قدر نسبت)
**۱. یافتن جمله‌ی اول ($\text{a}_{\text{۱}}$):**
* تعداد چوب کبریت‌ها در شکل اول: $\mathbf{\text{a}_{\text{۱}} = ۵}$
**۲. یافتن اختلاف مشترک ($\text{d}$):**
* $\text{a}_{\text{۲}} - \text{a}_{\text{۱}} = ۸ - ۵ = ۳$
* $\text{a}_{\text{۳}} - \text{a}_{\text{۲}} = ۱۱ - ۸ = ۳$
* اختلاف ثابت است: $\mathbf{\text{d} = ۳}$.
**۳. جایگذاری در فرمول کلی:**
$$\text{a}_{\text{n}} = ۵ + (\text{n}-۱)۳$$
$$\text{a}_{\text{n}} = ۵ + ۳\text{n} - ۳$$
$$\mathbf{\text{a}_{\text{n}} = ۳\text{n} + ۲}$$
این روش از هرگونه تجسم بصری مستقل است و فقط به اعداد دنباله نیاز دارد. این فرمول ثابت می‌کند که هر سه روش (روش آیدا، روش آیسا، و روش دنباله‌ی حسابی) به یک جمله‌ی $\text{n}$-ام می‌رسند.
فعالیت ریاضی دهم
۴) همان طور که در قسمت‌های (۱) و (۲) دیدیم، آیدا و آیسا مقدار $\text{a}_{\text{n}}$ را به ترتیب به صورت‌های $\text{a}_{\text{n}} = \text{n}+(\text{n}+۱)(۲)$ و $\text{a}_{\text{n}} = ۳\text{n}+۲$ به دست آوردند. جواب آیسا را ساده کنید تا به شکل جواب آیدا درآید.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه ۱۵ ریاضی دهم
هدف این قسمت نشان دادن این است که دو روش تجسمی مختلف (آیدا و آیسا) در نهایت باید به یک **فرمول جبری ساده شده** برسند.
### ۱. ساده‌سازی فرمول آیسا
فرمول آیسا برای جمله‌ی $\text{n}$-ام به این صورت بود:
$$\mathbf{\text{a}_{\text{n}} = \text{n} + (\text{n}+۱)(۲)}$$
### ۲. مرحله‌ی توزیع (پخش) عدد ۲
عدد ۲ را در پرانتز توزیع می‌کنیم:
$$\text{a}_{\text{n}} = \text{n} + (۲\text{n} + ۲)$$
### ۳. مرحله‌ی جمع‌بندی
جملات مشابه ($\text{n}$ و $۲\text{n}$) را با هم جمع می‌کنیم:
$$\text{a}_{\text{n}} = (\text{n} + ۲\text{n}) + ۲$$
$$\mathbf{\text{a}_{\text{n}} = ۳\text{n} + ۲}$$
**نتیجه:** با ساده‌سازی، مشاهده می‌کنیم که فرمول آیسا به فرمول ساده شده‌ی $\mathbf{\text{a}_{\text{n}} = ۳\text{n} + ۲}$ رسید که همانند جواب آیدا (بعد از مرتب‌سازی $\text{n}(۳)+۲$) است. این یعنی هر دو روش تجسمی درست بوده‌اند!
فعالیت ریاضی دهم
۵) به کمک رابطه‌ی $\text{a}_{\text{n}} = ۳\text{n}+۲$ تعداد چوب کبریت‌های شکل بیستم را بیابید.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۵ صفحه ۱۵ ریاضی دهم
حالا که فرمول کلی الگو را پیدا کردیم ($\text{a}_{\text{n}} = ۳\text{n}+۲$)، پیدا کردن تعداد چوب کبریت‌ها در هر شکل، از جمله شکل بیستم، بسیار آسونه.
### ۱. هدف
ما می‌خواهیم تعداد چوب کبریت‌ها در **شکل بیستم** را پیدا کنیم، یعنی باید مقدار $\mathbf{\text{a}_{\text{۲۰}}}$ را محاسبه کنیم.
### ۲. جایگذاری در فرمول
کافی است به جای $\text{n}$ در فرمول، عدد ۲۰ را قرار دهیم:
$$\text{a}_{\text{n}} = ۳\text{n} + ۲$$
$$\text{a}_{\text{۲۰}} = ۳(۲۰) + ۲$$
### ۳. محاسبه
$$\text{a}_{\text{۲۰}} = ۶۰ + ۲$$
$$\mathbf{\text{a}_{\text{۲۰}} = ۶۲}$$
**پاسخ:** شکل بیستم دارای **۶۲** قطعه چوب کبریت است.
فعالیت ریاضی دهم
۶) با استفاده از رابطه‌ی $\text{a}_{\text{n}} = ۳\text{n}+۲$ مشخص کنید که چندمین شکل در الگوی بالا دارای ۷۷ قطعه چوب کبریت است.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۶ صفحه ۱۵ ریاضی دهم
در این سؤال، برعکس سؤال قبلی، تعداد چوب کبریت‌ها (مقدار $\text{a}_{\text{n}}$) را داریم و باید **شماره‌ی شکل** (مقدار $\text{n}$) را پیدا کنیم.
### ۱. هدف
مقدار $\mathbf{\text{a}_{\text{n}} = ۷۷}$ داده شده است. باید معادله را برای پیدا کردن $\mathbf{\text{n}}$ حل کنیم.
### ۲. تشکیل معادله
فرمول کلی الگو:
$$\text{a}_{\text{n}} = ۳\text{n} + ۲$$
مقدار $\text{a}_{\text{n}}$ را برابر ۷۷ قرار می‌دهیم:
$$\mathbf{۷۷ = ۳\text{n} + ۲}$$
### ۳. حل معادله
* ابتدا عدد ثابت (۲) را به طرف دیگر می‌بریم:
$$۷۷ - ۲ = ۳\text{n}$$
$$۷۵ = ۳\text{n}$$
* سپس دو طرف را بر ۳ تقسیم می‌کنیم تا $\text{n}$ به دست آید:
$$\text{n} = \frac{۷۵}{۳}$$
$$\mathbf{\text{n} = ۲۵}$$
**پاسخ:** **بیست و پنجمین** شکل در الگو دارای ۷۷ قطعه چوب کبریت است.
